Член-корреспондент АН Азербайджана, А.Бабаев в 1952 году окончив среднюю школу с золотой медалью, поступил на физико-математический факультет отделения Математика Азербайджанского (Бакинский) Государственного Университета, который окончил с отличием в 1957 году. В том же году он был аспирантом кафедры «Теория функций и функциональный анализ». Учась в аспирантуре А.А. Бабаев доказал ряд новых теорем о существовании и единственности решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений. В 1960 году А.А. Бабаев под руководством А.И.Гусейнова защитил кандидатскую диссертацию на тему «Исследование теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений».

Построил теорию краевых задач для аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений по произвольной спрямляемой замкнутой кривой. Создал локальную теорию и обосновал метод механических квадратур для нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Им был дан метод изучения сингулярных интегральных операторов с ядром Коши вдоль открытой кривой, на основе которого была создана теория нелинейных сингулярных интегральных уравнений.
Эти исследования легли в основу его докторской диссертации «Исследования сингулярных интегральных уравнений», которую он защитил в 1966 году в Институте Математики им. А.М.Размадзе в Тбилиси. Н.И. Мусхелишвили, И.Н. Векуа, А.Н. Тихонов, З.И. Халилов, А.И. Гусейнов, Б.В. Хведелидзе, С.Г. Михлин, М.А. Красносельский, Т.Г. Гегелия и др. выдающиеся математики высоко оценили полученные им результаты.

При непосредственном руководстве и участии А.А. Бабаева на кафедре «Математический анализ», Бакинского Государственного Университета получен ряд функциональных результатов в области исследования нелинейных сингулярных интегральных уравнений применяемых в различных областях естественных наук, по локальной теории сингулярных, приближённые методы решения этих уравнений и т.д.

Под руководством А.А. Бабаева было защищено более 40 кандидатских диссертаций. Многие из его учеников В.В. Салаев, Р.С. Садырханов, С.К. Абдуллаев, Б.И. Мусаев, Э.Г. Гусейнов, В.С. Гулиев, Р.М. Рзаев и т.д. в дальнейшем стали докторами наук.

Долгое время А.А. Бабаев был членом Учёного Совета по присуждению научных степеней, деканом механико-математического факультета Бакинского Государственного Университета (1979-1994), председателем Экспертного Совета ВАК при Президенте Азербайджанской Республики, и его такая всесторонняя и успешная деятельность оказала большое влияние на развитие математики в республике.
За свою научную, педагогическую и общественную деятельность А.А. Бабаев был награждён орденом «Знак почёта» (1976) и почётной грамотой Верховного Совета Республики. В 1976 году он был избран член — корреспондентом НАНА и в 1992 году он был удостоен почётного звания «Заслуженный деятель науки»